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2024重生之回溯数据结构与算法系列学习【无论是王道考研人还真爱粉都能包会的；不然别给我家鸽鸽丢脸好嘛？】

news 2024/9/24 23:30:14

目录

数据结构王道第2章之顺序表

顺序表的定义和基本操作

定义：

基本操作： 

基本操作： 

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 顺序表的实现-静态分配​编辑

 

顺序表的静态分配初始化

如果“数组”存满了怎么办：

 顺序表的实现-动态分配：

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顺序表的动态分配初始化代码

顺序表的特点

 顺序表的插入删除

顺序表的基本操作-插入：

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 增加i的合法性判断：​编辑

顺序表的基本操作——删除​编辑

插入和删除的时间复杂度：

顺序表的查找

顺序表的按位查找：​编辑

顺序表的按位查找代码 

顺序表的按值查找：​编辑

 顺序表的按值查找代码

 结构类型的比较

课后习题精选：

（13）：给定一个含n个整数的数组Q,请设计一个在时间上尽可能高效的算法,找出数组中未出现的最小正整数

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解题思路 

具体代码实现：

（12）：已知一个整数序列A=（a0,a1,an-1），其中若存在则称x为A的主元素。 

解题思路： 

具体代码实现：

（11）：一个长度为L的升序序列S，处在第L/2个位置的数称为S的中位数，例如，若序列则S1的中位数是15，两个序列的中位数是11，现在有两个等长升序A和B

解题思路

具体代码实现

（10） ：一个长度为L的升序序列S，处在第L/2个位置的数称为S的中位数，例如，若序列则S1的中位数是15，两个序列的中位数是11，现在有两个等长升序A和B

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 解题思路：

具体代码实现：

数据结构王道第2章之顺序表

顺序表的定义和基本操作

定义：

基本操作： 

  • 用顺序存储的方式实现线性表顺序存储，把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

基本操作： 

  • InitList(&L)：初始化表。构造一个空的线性表L，分配内存空间。
  • DestroyList(&L)：销毁操作。销毁线性表，并释放线性表L所占用的内存空间。
  • ListInsert(&L,i,e)：插入操作。在表L中的第i个位置上插入指定元素e。
  • ListDelete(&L,i,&e)：删除操作。删除表L中第i个位置的元素，并用e返回删除元素的值。
  • LocateElem(L,e)：按值查找操作。在表L中查找具有给定关键字值的元素。
  • GetElem(L,i)：按位查找操作。获取表L中第i个位置的元素的值。
  • Length(L)：求表长。返回线性表L的长度，即L中数据元素的个数。
  • PrintList(L)：输出操作。按前后顺序输出线性表L的所有元素值。
  • Empty(L)：判空操作。若L为空表，则返回true，否则返回false。
  • 什么时候要传入参数的引用“&”： 对参数的修改结果需要“带回来”，是引用类型而不是值类型

 顺序表的实现-静态分配

 

 

顺序表的静态分配初始化

#define MaxSize 10      // 定义最大长度
typedef struct{ElemType data[MaxSize];     // 用静态的“数组”存放数据元素int length;     // 顺序表的当前长度
}SqList;
#include <stdio.h>#define MaxSize 10typedef struct{int data[MaxSize];int length;
}SqList;void InitList(SqList &L)
{// 可以省略，但可能由于遍历时用到MaxSize有脏数据，要用length遍历for (int i = 0; i < MaxSize; i ++ )L.data[i] = 0;L.length = 0;       // 不可省略，顺序表初始长度为0
}int main()
{SqList L;		// 声明一个顺序表InitList(L);		// 初始化顺序表return 0;
}

如果“数组”存满了怎么办：

可以放弃治疗，顺序表的表长刚开始确定后就无法更改（存储空间是静态的），同时如果提前初始化太多的空间而不用，又会造成资源的浪费，因此动态分配应运而生。

动态申请和释放内存空间：

  • C：malloc、free函数
  • L.data = (ElemType *) malloc (sizeof(ElemType) * InitSize);
  • malloc函数返回一个指针， 空间需要强制转型为你定义的数据元素类型指针
  • malloc函数的参数，指明要分配多大的连续内存空间
  • C++： new、delete关键字

 顺序表的实现-动态分配：

顺序表的实现：

  • 随机访问，即可以在O(1)时间内找到第i个元素。

  • 存储密度高，每个结点只存储数据元素

  • 拓展容量不方便（即便采用动态分配的方式实现，拓展长度的时间复杂度也比较高）

  • 插入、删除操作不方便，需要移动大量元素

顺序表的动态分配初始化代码

#define InitSize 10     // 顺序表的初始长度
typedef struct
{ElemType *data;     // 指示动态分配数组的指针，这个指针指向顺序表中第一个数据元素int MaxSize;        // 顺序表的最大容量int length;     // 顺序表的当前长度
} SeqList;      // 顺序表的类型定义（动态分配方式）
// 动态申请和释放空间// 在C语言中的函数分别是malloc和free函数
// malloc函数是申请一整片连续的内存空间，且会return一个指向这一整片存储空间开始地址的指针，需要强制转型为你定义的数据元素类型的指针
// L.data = (ElemType *)malloc(sizeof(ElemType) * InitSize);
// malloc和free包含在<stdlib.h>头文件中// 在C++语言中分别是new和delete这两个关键字
  • 这样就可以让顺序表的容量可变
  • 虽然动态分配可以使顺序表的大小可以灵活改变，但是时间开销还是比较大的（复制元素）
  • 注意malloc和free是一对函数
  • free函数会把p这个指针所指向的这一整片的存储空间给释放掉，归还给系统，然后由于p是局部于这个函数的变量，函数结束后，存储p这个变量的存储空间会被系统自动回收

 

#include <stdlib.h>#define InitSize 10typedef struct
{int *data;int MaxSize;int length;
} SeqList;void InitList(SeqList &L)
{L.data = (int *)malloc(sizeof(int) * InitSize);L.MaxSize = InitSize;L.length = 0;
}void IncreaseSize(SeqList &L, int len)
{int *p = L.data;L.data = (int *)malloc(sizeof(int) * (L.MaxSize + len));for (int i = 0; i < L.length; i ++ )L.data[i] = p[i];L.MaxSize = L.MaxSize + len;free(p);
}int main()
{SeqList L;InitList(L);// ...往顺序表中随意随便插入几个元素IncreaseSize(L, 5);return 0;
}

 

顺序表的特点

  • 随机访问，即可以在O ( 1 ) O(1)O(1)时间内找到第i个元素（不论是静态分配还是动态分配代码都是d a t a [ i − 1 ] data[i - 1]data[i−1]
  • 存储密度高，每个节点只存储数据元素（链表还要存指针）
  • 拓展容量不方便（即便采用动态分配的方式实现，拓展长度的时间复杂度也比较高）
  • 插入、删除操作不方便，需要移动大量元素

 

 顺序表的插入删除

顺序表的基本操作-插入：

  • ListInsert(&L, i, e) ：插入操作，在表L中的第i个位置（位序）插入指定元素i
  • 本节代码建立在顺序表的“静态分配”实现方式之上，“动态分配”也雷同。
  • 时间复杂度的平均情况 ：p = 1 / ( n + 1 ) p=1/(n+1)p=1/(n+1)；i=1，循环n次，i=2，循环n-1次…；平均循环次数= n p + ( n − 1 ) ∗ p + . . . + 1. p = n ∗ ( n + 1 ) / 2 ∗ 1 / ( n + 1 ) = n / 2 =np+(n-1)*p+...+1.p=n*(n+1)/2*1/(n+1)=n/2=np+(n−1)∗p+...+1.p=n∗(n+1)/2∗1/(n+1)=n/2
  • #define MaxSize 10typedef struct
{int data[MaxSize];int length;
} SqList;bool ListInsert(SqList &L, int i, int e)
{if (i < 1 || i > L.length + 1)      // 判断i的范围是否有效return false;if (L.length == MaxSize)        // 当前存储空间已满，不能插入return false;for (int j = L.length; j >= i; j -- )       // 将第i个元素及之后的元素后移L.data[j] = L.data[j - 1];L.data[i - 1] = e;      // 在位置i处放eL.length ++ ;       // 长度加1return true;        // 反馈
}int main()
{SqList L;InitList(L);// ...插入一些元素ListInsert(L, 5, 5);return 0;
}

 增加i的合法性判断：

顺序表的基本操作——删除

 

bool ListDelete(SqList &L, int i, int &e)
{if (i < 1 || i > L.length)      // 判断i的范围是否有效return false;e = L.data[i - 1];      // 将被删除的元素赋给efor (int j = i; j < L.length; j ++ )        // 将第i个位置后的元素前移L.data[j - 1] = L.data[j];L.length -- ;     // 线性表长度减一return true;
}int main()
{SqList L;InitList(L);// ...插入一些元素int e = -1;     // 用变量e把删除的元素“带回来”if (ListDelete(L, 3, e))printf("已删除第3个元素，删除元素值为=%d\n", e);elseprintf("位序i不合法，删除失败");
}
  • ListDelete(&L, i, &e) ：删除操作，删除表L中第i个位置的元素，并用e返回删除元素的值
  • 因为要返回e，所以这要有一个引用操作，因此，在这个函数中操作的变量e，在内存中其实对应的是同一份数据
  • 在删除操作中是先移动前面的元素再移动后面的元素，而在插入操作中要把元素往后移时，先把后面的元素往后移，然后再移前面的元素

插入和删除的时间复杂度：

  • 最好时间复杂度= O(1)

  • 最坏时间复杂度= O(n)

  • 平均时间复杂度= O(n)

顺序表的查找

顺序表的按位查找：

顺序表的按位查找代码 
// 静态分配实现顺序表，动态分配实现的顺序表也是如此
ElemType GetElem(SqList L, int i)
{// 判断i合法性return L.data[i - 1];
}
  • GetElem(L, i) ：按位查找操作。获取表L中第i个位置的元素的值

  • 正是如此，在初始化顺序表时候malloc需要强制转换为与数据元素的数据类型相对应的指针

  • 时间复杂度= O(1)

  • 随机存取：由于顺序表的各个数据元素在内存中连续存放，因此可以根据起始地址和数据元素大小立即找到第i个元素，

顺序表的按值查找：

 顺序表的按值查找代码

#define InitSize 10
typedef struct
{ElemType *data;int MaxSize;int length;
} SeqList;ElemType LocateElem(SeqList L, ElemType e)
{for (int i = 0; i < L.length; i ++ )if (L.data[i] == e)return i + 1;		// 返回位序return 0;
}
  • LocateElem(L, e) ：按值查找操作，在表L中查找具有给定关键字值的元素 

  • 结构类型的数据元素也能用 == 比较吗：不能！（C++可以用 == 的重载来实现）

  • 更好的办法：定义一个函数

  • 依次对比各个分量来判断两个结构体是否相等

  • 最好时间复杂度= O(1)

  • 最坏时间复杂度= O(n)

  • 平均时间复杂度= O(n)

 结构类型的比较

  • 在C语言中，结构类型的比较不能直接用“==”，需要依次对比各个分量来判断两个结构体是否相等；如果C++，则可以用重载 “= =“。

  • 但是，《数据结构》考研初试中，手写代码可以直接用“= =”，无论ElemType是基本数据类型还是结构类型。但是有的学校考《C语言程序设计》，那么也许语言就要严格一些。最好还是看一下相关的历年真题。

课后习题精选：

（13）：给定一个含n个整数的数组Q,请设计一个在时间上尽可能高效的算法,找出数组中未出现的最小正整数

解题思路 

>定义标记数组
>记录A中出现正整数情况

具体代码实现：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define Maxsize 50// 定义顺序表结构
typedef struct
{int data[Maxsize];  // 存储顺序表中的数据int length = 0;     // 当前顺序表的长度
} SqList;// 插入测试数据函数
void ListInsert(SqList &L)
{int val = 0;// 从标准输入读取整数while (cin >> val){// 将输入值存储到顺序表中，并更新长度L.data[L.length++] = val;// 判断是否为输入行的结束符（回车），若是则停止读取if (cin.get() == '\n'){break;}}
}// 打印顺序表函数
void PrintList(SqList L)
{for (int i = 0; i < L.length; i++){// 打印顺序表中的每个元素，以制表符分隔cout << L.data[i] << '\t';}cout << endl; // 打印换行符
}// 找到1到n范围内的最小缺失正整数
int FindMin(SqList &L, int n)
{int i;// 动态分配一个大小为n的数组Bint *B = new int[n];// 将数组B初始化为0memset(B, 0, sizeof(int) * n);// 遍历顺序表中的数据for (i = 0; i < n; i++){// 若数据在1到n范围内，则在数组B中对应位置标记为1if (L.data[i] > 0 && L.data[i] <= n){B[L.data[i] - 1] = 1;}}// 查找数组B中第一个未被标记的位置for (i = 0; i < n; i++){if (B[i] == 0){break;}}// 返回缺失的最小正整数return i + 1;
}int main()
{SqList L;      // 创建一个顺序表ListInsert(L); // 从输入中插入测试数据// 查找并打印1到5范围内的最小缺失正整数cout << FindMin(L, 5);
}

（12）：已知一个整数序列A=（a0,a1,an-1），其中若存在则称x为A的主元素。 

解题思路： 

>算法关键就是扫描数组
>标记处一个可能成为主元的元素，然后重新计数

具体代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
#define Maxsize 50// 定义顺序表结构
typedef struct
{int data[Maxsize];  // 存储顺序表中的数据int length = 0;     // 当前顺序表的长度
} SqList;// 插入测试数据
void ListInsert(SqList &L)
{int val = 0;// 从标准输入读取整数while (cin >> val){// 将输入值存储到顺序表中，并更新长度L.data[L.length++] = val;// 判断是否为输入行的结束符（回车），若是则停止读取if (cin.get() == '\n'){break;}}
}// 打印顺序表
void PrintList(SqList L)
{for (int i = 0; i < L.length; i++){// 打印顺序表中的每个元素，以制表符分隔cout << L.data[i] << '\t';}cout << endl; // 打印换行符
}// 查找出现次数超过一半的元素
int MainValue(SqList &L, int n)
{int i, c, count = 1;c = L.data[0]; // 初始候选元素为第一个元素// 遍历顺序表中的数据，确定可能的多数元素for (i = 1; i < n; i++){if (L.data[i] == c){count++; // 如果当前元素等于候选元素，则计数器加1}else{if (count > 0){count--; // 如果当前元素与候选元素不同且计数器大于0，则计数器减1}else{c = L.data[i]; // 选择新的候选元素count = 1;    // 重置计数器为1}}}// 再次遍历确认候选元素是否真的出现次数超过一半if (count > 0){for (i = count = 0; i < n; i++){if (L.data[i] == c){count++; // 统计候选元素的实际出现次数}}}// 如果候选元素的出现次数超过一半，则返回该元素，否则返回-1if (count > n / 2){return c;}else{return -1;}
}int main()
{SqList L;      // 创建一个顺序表ListInsert(L); // 从输入中插入测试数据// 查找并打印出现次数超过一半的元素cout << MainValue(L, 5);
}

（11）：一个长度为L的升序序列S，处在第L/2个位置的数称为S的中位数，例如，若序列则S1的中位数是15，两个序列的中位数是11，现在有两个等长升序A和B

解题思路

>分成3种情况，相等、小于、大于
>等于直接返回
>小于、大于分别减半

具体代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
#define Maxsize 50// 定义顺序表结构
typedef struct
{int data[Maxsize];  // 存储数据的数组int length = 0;     // 顺序表的当前长度
} SqList;// 插入测试数据
void ListInsert(SqList &L)
{int val = 0;while (cin >> val) // 从标准输入读取数据{L.data[L.length++] = val; // 将读取的值插入顺序表，并增加长度if (cin.get() == '\n') // 检测到换行符，结束输入{break;}}
}// 打印顺序表
void PrintList(SqList L)
{for (int i = 0; i < L.length; i++){cout << L.data[i] << '\t'; // 打印顺序表中的每个元素}cout << endl;
}// 题目功能函数：查找两个排序数组中的中位数
int SearchMid(SqList &L1, SqList &L2, int n)
{int s1 = 0, d1 = n - 1; // L1 的开始和结束下标int m1, s2 = 0, d2 = n - 1; // L2 的开始和结束下标int m2;while (s1 != d1 || s2 != d2) // 当两个数组还没有缩小到只有一个元素时{m1 = (s1 + d1) / 2; // L1 的中间下标m2 = (s2 + d2) / 2; // L2 的中间下标if (L1.data[m1] == L2.data[m2]) // 如果中间元素相等，则找到中位数{return L1.data[m1];}if (L1.data[m1] < L2.data[m2]) // 如果 L1 中的中间元素小于 L2 中的中间元素{if ((s1 + d1) % 2 == 0) // 如果 L1 的当前区间大小为偶数{s1 = m1; // 将 L1 的起始位置更新为 m1d2 = m2; // 将 L2 的结束位置更新为 m2}else // 如果 L1 的当前区间大小为奇数{s1 = m1 + 1; // 将 L1 的起始位置更新为 m1 + 1d2 = m2; // 将 L2 的结束位置更新为 m2}}else // 如果 L1 中的中间元素大于 L2 中的中间元素{if ((s2 + d2) % 2 == 0) // 如果 L2 的当前区间大小为偶数{d1 = m1; // 将 L1 的结束位置更新为 m1s2 = m2; // 将 L2 的起始位置更新为 m2}else // 如果 L2 的当前区间大小为奇数{d1 = m1; // 将 L1 的结束位置更新为 m1s2 = m2 + 1; // 将 L2 的起始位置更新为 m2 + 1}}}// 返回最终中位数，取两个数组中当前位置的较小值return L1.data[s1] < L2.data[s2] ? L1.data[s1] : L2.data[s2];
}int main()
{SqList L1, L2;  // 创建两个顺序表ListInsert(L1); // 插入测试数据到 L1ListInsert(L2); // 插入测试数据到 L2cout << SearchMid(L1, L2, 5); // 输出两个排序数组中位数
}

（10） ：一个长度为L的升序序列S，处在第L/2个位置的数称为S的中位数，例如，若序列则S1的中位数是15，两个序列的中位数是11，现在有两个等长升序A和B

 解题思路：

>将子数组逆转3次

具体代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
#define Maxsize 50// 定义顺序表结构
typedef struct
{int data[Maxsize];  // 存储顺序表中的数据int length = 0;     // 当前顺序表的长度
} SqList;// 插入测试数据
void ListInsert(SqList &L)
{int val = 0;// 从标准输入读取整数while (cin >> val){// 将输入值存储到顺序表中，并更新长度L.data[L.length++] = val;// 判断是否为输入行的结束符（回车），若是则停止读取if (cin.get() == '\n'){break;}}
}// 打印顺序表
void PrintList(SqList L)
{for (int i = 0; i < L.length; i++){// 打印顺序表中的每个元素，以制表符分隔cout << L.data[i] << '\t';}cout << endl; // 打印换行符
}// 逆转数组的部分元素
void Reverse(SqList &L, int left, int right)
{// 将指定区间 [left, right] 的元素交换以实现逆转for (int i = 0; i < (right - left + 1) / 2; i++){int temp = L.data[i + left];L.data[i + left] = L.data[right - i];L.data[right - i] = temp;}
}// 逆转顺序表的两部分以及整个数组
void ReverseList(SqList &L, int p)
{// 逆转前 p 个元素Reverse(L, 0, p - 1);        // 逆转从 p 到最后的元素Reverse(L, p, L.length - 1); // 逆转整个数组Reverse(L, 0, L.length - 1); 
}int main()
{SqList L;      // 创建一个顺序表ListInsert(L); // 从输入中插入测试数据// 逆转顺序表中的前 3 个元素，以及从第 3 个元素开始的其余部分，然后逆转整个数组ReverseList(L, 3);// 打印逆转后的顺序表PrintList(L);
}

,,,


http://www.mrgr.cn/news/29094.html

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