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计算机的错误计算（九十五）

news 2024/11/16 23:40:25

摘要从计算机的错误计算（八十六）至（九十四），其主题均涉及对数运算。本节用错数解释（九十四）中的错误计算的原因。其余类似。

首先，由计算机的错误计算（二十七）知，错数公式是

$j-k\approx m+m_1-m_2\,.$

上式表示，函数值的错误数字个数 $j$ 比自变量的错误数字个数 $k$ 多约 $m+m_1-m_2$ 位（实际误差为1，即也可能多 $m+m_1-m_2-1$ 位）。其中 3个 $m$ 符号依次表示导数、自变量以及函数值的扩展整数位数。

若自变量有一点舍入误差，那么这一丁点误差会导致结果中含有 $m+m_1-m_2$ 或 $m+m_1-m_2-1$ 位错误数字。

对于（九十四）中案例，有：

$x=0.999999999543\,,$

$\log_2(x)\approx -0.659311633836909\textup{e}-9\,,$

$(\log_2(x))^\prime|_{x=0.999999999543}=\frac{1}{x\ln(2)}|_{x=0.999999999543}=1.442695... \,.$

所以， $m_1=0\,,$ $m_2=-9\,,$ $m=1\,.$ 于是， $m+m_1-m_2=1+0-(-9)=10\,.$ 因此，在现有计算模式下，计算机的输出中必定有10位或9位错误数字。

实际情况是9位错误数字。

从（八十六）至（九十四），其讨论的主题均涉及对数运算（比如，（八十八）中主题是 $\textup{atanh}(x)=\frac{1}{2}\ln(\frac{1+x}{1-x})$ ）。因此，这些错误计算原因也可以通过错数来解释，并且是定量地解释。在此不再赘述。