高等数学 2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数

一、隐函数求导

函数 $y=f(x)$ 表示两个变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达，例如 $y=\sin x$ ，$y=\ln x+\sqrt{1-x^2}$ 等。这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程
$$x+y^3-1=0$$
表示一个函数，因为当变量 $x$ 在 $(-\infty ,\infty )$ 内取值时，变量 $y$ 有确定的值与之对应。例如，当 $x=0$ 时，$y=1$ ；当 $x=-1$ 时，$y=\sqrt[3]{2}$ ，等等。这样的函数称为隐函数。

一般地，如果变量 $x$ 和 $y$ 满足一个方程 $F(x,y)=0$ ，在一定条件下，当 $x$ 取某区间内任一值时，相应地总有满足这一方程的唯一的 $y$ 值存在，那么就说方程 $F(x,y)=0$ 在该区间内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程 $x+y^3-1=0$ 解出 $y=\sqrt[3]{1-x}$ ，就把隐函数化成了显函数。隐函数显化有时是困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数。下面通过具体例子来说明这种方法。

例1 求由方程 ${\mathrm{e}}^y+xy-\mathrm{e}=0$ 所确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ .
解：我们把方程两端分别对 $x$ 求导，注意 $y=y(x)$ 。方程左端对 $x$ 求导得
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}({\mathrm{e}}^y+xy-\mathrm{e})={\mathrm{e}}^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},$$
方程右端对 $x$ 求导得
$$(0{)}^{\prime }=0.$$
由于等式两端对 $x$ 的导数相等，所以
$${\mathrm{e}}^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0,$$
从而
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{y}{x+{\mathrm{e}}^y}(x+{\mathrm{e}}^y\ne 0)$$
在这个结果中，分式中的 $y=y(x)$ 是由方程 ${\mathrm{e}}^y+xy-\mathrm{e}=0$ 所确定的隐函数。

例2 求由方程 $y^5+2y-x-3x^7=0$ 所确定的隐函数在 $x=0$ 处的导数 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}$ .
解：把方程两端分别对$x$ 求导，由于方程两端的导数相等，所以
$$5y^4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-1-21x^6=0.$$
由此得
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+21x^6}{5y^4+2}.$$
因为当 $x=0$ 时，从原方程的 $y=0$ ，所以
$${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=0}=\frac{1}{2}.$$

例3 求椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 在点 $\left(2,\frac{3}{2}\sqrt{3}\right)$ 处的切线方程。
解：由导数的几何意义可知，所求切线斜率为
$$k={y^{\prime }|}_{x=2}.$$
椭圆方程的两端分别对 $x$ 求导，有
$$\frac{x}{8}+\frac{2}{9}y\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.$$
从而
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{9x}{16y}.$$
当 $x=2$ 时，$y=\frac{3}{2}\sqrt{3}$ ，代入上式得
$${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=2}=-\frac{\sqrt{3}}{4}.$$
于是所求切线方程为
$$y-\frac{3}{2}\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-2),$$
即
$$\sqrt{3}x+4y-8\sqrt{3}=0.$$

例4 求由方程 $x-y+\frac{1}{2}\sin y=0$ 所确定的隐函数的二阶导数 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{x}^2}$ .
解：应用隐函数的求导方法，得
$$1-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{1}{2}\cos y\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0$$
于是
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2}{2-\cos y}.$$
上式两端再对 $x$ 求导，得
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{-2\sin y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{(2-\cos y{)}^2}=\frac{-4\sin y}{(2-\cos y{)}^3}.$$
上式右端分式中的 $y=f(x)$ 是由方程 $x-y+\frac{1}{2}\sin y=0$ 所确定的隐函数。

在某些场合，利用所谓的对数求导法求导数比通常的方法简便些。这种方法是先在 $y=f(x)$ 的两端取对数，然后再求出 $y$ 的导数。

例5 求 $y=x^{\sin x}(x>0)$ 的导数。
解：这函数是幂指函数。为了求这个函数的导数，可以先在等式两端取对数，得
$$\ln y=\sin x\cdot \ln x.$$
上式两端对 $x$ 求导，注意到 $y=y(x)$ ，得
$$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\cos x\cdot \ln x+\sin x\cdot \frac{1}{x},$$
于是
$$y^{\prime }=y\left(\cos x\cdot \ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x\cdot \ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$$

对于一般型式的幂指函数
$$y=u^v(u>0),$$
如果 $u=u(x)$ ， $v=v(x)$ 都可导，那么可以像例5那样利用对数求导法求出幂指函数的导数，也可把幂指函数表示为
$$y={\mathrm{e}}^{v\ln u}.$$
这样便可直接求得
$$y^{\prime }={\mathrm{e}}^{v\ln u}\left(v^{\prime }\cdot \ln u+v\cdot \frac{u^{\prime }}{u}\right)=u^v\left(v^{\prime }\cdot \ln u+\frac{v{u}^{\prime }}{u}\right)$$

例6 求 $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数。
解：先在等式两端取对数（假定 $x>4$），得
$$\ln y=\frac{1}{2}[\ln (x-1)+\ln (x-2)-\ln (x-3)-\ln (x-4)],$$
上式两端对 $x$ 求导，注意到 $y=y(x)$ ，得，
$$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right)$$
于是
$$y^{\prime }=\frac{y}{2}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\right).$$
当 $x<1$ 时，$y=\sqrt{\frac{(1-x)(2-x)}{(3-x)(4-x)}}$ ;
当 $2<x<3$ 时，$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(3-x)(4-x)}}$ ,
用同样的方法可得与上面相同的结果。

二、由参数方程所确定的函数的导数

一般地，若参数方程
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}\end{array}$$
确定 $y$ 与 $x$ 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 $(1)$ 所确定的函数。

在实际问题中，需要计算由参数方程 $(1)$ 所确定的函数的导数。但从 $(1)$ 中消去参数 $t$ 有时会有困难。因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程 $(1)$ 算出它所确定的函数的导数。

在 $(1)$ 中，如果函数 $x=\phi (t)$ 具有单调连续反函数 $t={\phi }^{-1}(x)$ ，且次反函数能与函数 $y=\psi (t)$ 构成复合函数，那么由参数方程 $(1)$ 所确定的函数可以看成是由函数 $y=\psi (t)$ ，$t={\phi }^{-1}(x)$ 复合而成的函数 $y=\psi [{\phi }^{-1}(x)]$ .现在要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数 $x=\phi (t)$ ， $y=\psi (t)$ 都可导，而且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$ 。于是根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(x)},$$
即
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(x)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
上式也可以写成
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}.$$
$(2)$ 式就是由参数方程 $(1)$ 所确定的 $x$ 的函数的导数公式。

如果 $x=\phi (t)$ ， $y=\psi (t)$ 还是二阶可导的，那么从 $(2)$ 式又可以得到二阶导数公式
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{\prime \prime }(t)}{{\phi }^{\prime 2}(t)}\cdot \frac{1}{{\phi }^{\prime }(t)}.$$
即
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{\prime \prime }(t)}{{\phi }^{\prime 3}(t)}.$$

例7 已知椭圆的参数方程为

$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x=a\cos t,\\ y=b\sin t,\end{array}\end{array}$$

求椭圆在 $t=\frac{\pi }{4}$ 相应的点处的切线方程。
解：当 $t=\frac{\pi }{4}$ 时，椭圆上相应的点 $M_0$ 的坐标是

$$\begin{array}{rl}{x}_0& =a\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}a}{2},\\ y_0& =b\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}b}{2}.\end{array}$$

曲线在点 $M_0$ 的切线斜率为

$${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{t=\frac{\pi }{4}}={\frac{(b\sin t{)}^{\prime }}{(a\cos t{)}^{\prime }}|}_{t=\frac{\pi }{4}}={\frac{b\cos t}{-a\sin t}|}_{t=\frac{\pi }{4}}=-\frac{b}{a}.$$

代入点斜式方程，即得椭圆在点 $M_0$ 处的切线方程
$$y-\frac{\sqrt{2}b}{2}=-\frac{b}{a}\left(x-\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)$$
化简后得
$$bx+ay-\sqrt{2}ab=0.$$

例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为
$$\{\begin{array}{rl}x& =v_{1}t,\\ y& =v_{2}t-\frac{1}{2}\mathrm{g}{t}^2,\end{array}$$
求抛射体在时刻 $t$ 的运动速和方向。
解：先求速度的大小
由于速度的水平分量为
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_1,$$
铅直分量为
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=v_2-\mathrm{g}t,$$
所以抛射体运动速度大小为
$$v=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2}=\sqrt{v_1^2+(v_2-\mathrm{g}t{)}^2}.$$
再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向。
设 $\alpha$ 是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得
$$\tan \alpha =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{v_2-\mathrm{g}t}{v_1}$$
在抛射体刚射出 $(即t=0)$ 时，
$${\tan \alpha |}_{t=0}={\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{t=0}=\frac{v_2}{v_1};$$
当 $t=\frac{v_2}{\mathrm{g}}$ 时，
$${\tan \alpha |}_{t=\frac{v_2}{\mathrm{g}}}={\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{t=\frac{v_2}{\mathrm{g}}}=0,$$
这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。

例9 计算由摆线的参数方程
$$\{\begin{array}{rl}x& =a(t-\sin t),\\ y& =a(1-\cos t)\end{array}$$
所确定的函数 $y=y(x)$ 的二阶导数。
解：
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\cot \frac{t}{2}(t\ne 2n\pi ,n\in \mathbb{Z}).$$

$$\begin{array}{rl}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\cot \frac{t}{2}\right)\cdot \frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\\ & =-\frac{1}{2{\sin }^2\frac{t}{2}}\cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}\\ & =-\frac{1}{a(1-\cos t{)}^2}(t\ne 2n\pi ,n\in \mathbb{Z}).\end{array}$$

三、相关变化率

设 $x=x(t)$ 及 $y=y(t)$ 都是可导函数，而变量 $x$ 与 $y$ 间存在某种关系，从而变化率 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 与 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 间也存在一定关系。这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。

例10 一气球从离开观察员 $500\mathrm{m}$ 处离地面铅直上升，当气球高度为 $500\mathrm{m}$ 时，其速率为 $140\mathrm{m}/\min$ （米/分）。求此时观察员视线的仰角增加的速率是多少？
解：设气球上升 $t$ $s$（秒）后，其高度为 $h$ ，观察员视线的仰角为 $\alpha$ ，则
$$\tan \alpha =\frac{h}{500},$$
其中 $\alpha$ 及 $h$ 都与 $t$ 存在可导的函数关系。上式两边对 $t$ 求导，得
$${\sec }^2\alpha \cdot \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}=\frac{1}{500}\cdot \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}.$$
由已知条件，存在 $t_0$ 使 ${h|}_{t=t_0}=500\mathrm{m}$ ， ${\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}=140\mathrm{m}/\min$ .又 ${\tan \alpha |}_{t=t_0}=1$ ，${{\sec }^2\alpha |}_{t=t_0}=2$ ，代入上式得
$${2\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}=\frac{1}{500}\cdot 140,$$
所以
$${\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}=\frac{70}{500}=\mathrm{0.14.}$$
即此时观察员视线的仰角增加的速率为 $0.14\mathrm{rad}/\min$ （弧度/分）。

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