IEEE 754浮点数表示

浮点数组成

以单精度浮点数(32位)为例说明：

十进制浮点数组成：

十进制基数(base)为10

二进制浮点数组成：

二进制基数(base)为2

以IEEE 754标准表示十进制数：$(7.625{)}_{10}$，先将其转成二进制表示：$(111.101{)}_2=1.11101\ast 2^2=2^2\ast (1+0.11101)$

将以上二进制以IEEE 754标准存入内存中如下：

浮点数 二进制小数转十进制小数公式：$sign\ast 2^E\ast (1+mantissa)$ 这里的$E$是实际指数（下面会说明$E$的计算）而不是存储在内存中的指数。

IEEE 754 浮点数概述

IEEE 754 规范化浮点数

sign规定

0为正

1为负

exponent规定

指数部分有正有负，因此IEEE 754标准中采用有偏指数（The Biased exponent）表示。这意味着存储在内存中的指数部分$e$并不是实际的指数$E$。存储在内存中的指数$e$为实际指数$E$加上偏移常数（Bias）。
对于单精度浮点数（32位）为例，实际指数$E$和存储的指数$e$之间的关系如下：
$$E=e-127$$
这里，127是偏移常数（Bias）。偏移常数计算采用：$2^{n-1}-1$，这里的$n$为存储指数的bit位数。对于单精度浮点数，指数部分占8位（即$n=8$），因此偏移常数是$2^{8-1}-1=127$

mantissa规定

通过移位操作将小数点前的值固定为1。

mantissa为23位，但是小数点前有固定为1的一位，因此尾数部分比实际多一位，共24位（significand）

IEEE 754 非规范化浮点数

非规范化浮点数表示0和接近0的值

exponent规定

exponent部分全为0。

偏移值比规范化的偏移值小1。即：$2^{n-1}-2$，以单精度浮点数为例$2^{8-1}-2=126$表示0。指数位全为0，则是-126。

mantissa规定

规范化浮点数表示，mantissa部分有一个省略的前导1

非规范化浮点数表示，当指数位全为0时，mantissa部分没有被省略的前导1

特殊值

Infinity值

NaN（Not a Number）值

好用的几个工具

1. base convert
2. float toy