差分算法搞不懂？这篇文章带你飞

你以为处理区间加减操作很简单？但你绝对没见过这样的高效解法！

很多人都认为处理大量区间加减操作只能依靠费时的直接修改，简单的循环加法让人一看到就头疼。是不是已经习惯了这样复杂又低效的方法？你以为那是唯一的解决方案，但你真的了解过差分数组的神奇吗？如果你想知道如何高效地搞定这些操作，那你一定要继续看下去！

差分数组：让区间操作秒变常数时间！

想象一下，你的原始数组 a 长度为 n，你需要对其中的多个区间 [l, r] 进行加减操作，直接操作无疑是个漫长的过程。但别急，我们有一个神器：差分数组！它能把区间更新问题变成常数时间的操作，这可不是开玩笑的！

差分数组的构造步骤：

1. 初始化差分数组：

   • 首先，我们需要构造一个比原数组长一位的差分数组 b，所有元素初始化为 0。这一步就像为你的战斗机加上了火箭推进器，瞬间提速！

2. 进行区间更新：

   • 假如你要对区间 [l, r] 的每个元素都加上 d，你只需做两步操作：
     • b[l] += d：从位置 l 开始增加 d，就像发动机启动时的轰鸣声！
     • b[r+1] -= d：从位置 r+1 开始减去 d，这是停止引擎时的刹车声！

   这些操作的时间复杂度是常数级别的 (O(1))，而不需要逐个处理。

3. 还原原数组：

   • 完成更新后，你只需要通过累加差分数组 b 来还原原始数组 a。这就像你用火箭将飞船发射到太空后，再用微调器精确调整轨道一样精确！

举个例子看看如何神奇地应用差分数组：

假设你有一个长度为 5 的数组 a = [0, 0, 0, 0, 0]，需要执行以下两次操作：

1. 对区间 [2, 4] 加 3；
2. 对区间 [1, 3] 加 2。

差分数组 b 初始为 [0, 0, 0, 0, 0, 0]（多出的一位处理边界）。

• 对 [2, 4] 加 3：

  • b[2] += 3，结果为 [0, 3, 0, 0, 0, 0]；
  • b[5] -= 3，结果为 [0, 3, 0, 0, -3, 0]。

• 对 [1, 3] 加 2：

  • b[1] += 2，结果为 [2, 3, 0, 0, -3, 0]；
  • b[4] -= 2，结果为 [2, 3, 0, 0, -2, 0]。

最后，通过累加 b 得到 a = [2, 5, 5, 5, 2]，你就完成了高效更新！这就是差分数组的魔力！

结论：用差分数组，你的操作从此秒变高效！

很多人认为处理区间加减操作需要一遍遍的遍历，但差分数组让这些繁琐的操作一秒钟搞定！是不是对这种技巧感到惊讶？差分数组不仅仅是高效的代表，更是让编程变得轻松愉快的魔法工具。如果你还在用老办法处理这些问题，是时候用上差分数组了！