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从控制系统角度理解拉普拉斯卷积定理

news 2025/5/1 2:21:11

一、什么是拉普拉斯卷积定理？

$F_{1}(s)$ 和 $F_{2}(s)$ 分别是函数 $f_{1}(t)$ 和 $f_{2}(t)$ 的拉普拉斯变换形式，且 $f_{1}(t)$ 和 $f_{2}(t)$ 满足当 $t< 0$ 时 $f_{1}(t)=0$ 、 $f_{2}(t)=0$ 。那么有拉普拉斯卷积定理(Laplace convolution theorem)：

直接用数学证明该公式往往比较抽象，本文将着力从控制系统的角度来解释该公式的合理性。

二、控制系统和传递函数

控制系统一般用微分方程(differential function)表示，如下所示：

但这个方程往往难以解析，所以往往对该微分方程两边同时作拉普拉斯变换(Laplace intergration transformation)。得到的式子如下所示：

其中， $Y(s)$ 是输出量（响应）的拉普拉斯变换形式， $X(s)$ 是输入量（激励）的拉普拉斯变换形式。 $G(s)$ 为两者的比例，被称为传递函数(transfer function)。于是，当 $Y(s)$ 求出后，输出量函数（响应函数）可以由拉普拉斯逆变换求出。

三、单位冲激响应

当输入函数为单位冲激函数 $\delta (t)$ (unit impulse function)时，由于其拉普拉斯变换形式为1，此时， $Y(s)$ 满足：

$Y(s)=G(s)$

也就是说单位冲激函数作为输入量（激励）时，此时系统的输出量（也被称为单位冲击响应，unit impulse response）的拉普拉斯变换形式和传递函数拉普拉斯变换形式相等。由于拉普拉斯变换与原函数存在唯一映射关系，可以说传递函数的原函数等于系统单位冲击响应。

规定单位冲激响应为 $K(s)$ ，普通形式为 $k(t)$ 。

四、近似的单位冲激响应

单位冲激函数的有如下性质：

$\int_{-\infty }^{\infty}\delta (t)dt=1$

单位冲激函数在t=0处接近于无限大，而在别的地方都等于0，且函数在实数轴上积分为1。试想，我们在数轴上某一个比较小区间上，如 $[t_{1},t_{1}+\Delta t]$ 使得函数 $f(x)$ 等于某一个非零正常数，而在其他地方均等于0，且在实数轴上积分为1。那么，如果把这个函数作为系统的输入量，系统的响应会如何呢？

此时，可以如下表示输入函数：

$x(t)=\frac{1}{\Delta t}[u(t_{1})-u(t_{1}+\Delta t)]$

两边作拉普拉斯变换：

$X(s)=\frac{1}{\Delta t}(\frac{e^{-st_{1}}}{s}-\frac{e^{-s(t_{1}+\Delta t)}}{s})$

其实，当我们让 $\Delta t$ 无限小时，我们可以把这个函数归结为指数函数 $e^{-st}$ 在 $t=t_{1}$ 处的导数。 $X(s)$ 就变成了冲激函数 $\delta (t-t_{1})$ 的拉普拉斯变换形式，如下所示：

$X(s)=e^{-st_{1}}$

这样，如果 $\Delta t$ 比较小，我们可以近似认为输出量和冲激函数作为激励的输出量一样。即 $X(s)$ 造成的响应为 $K(s)e^{-st_{1}}$ ，普通形式为 $k(t-t_{1})$ ，即单位冲激响应的变种。

我现在把这种函数 $f(x)$ 称为近似的单位冲激函数。这不是严谨的定义，而是我为了阐述作的规定。

五、如何通过求一个不规则激励的响应？

如上图所示，可以把不规则的输入信号拆分为很多很多段持续时间很短的稳定输入量的叠加。具体的说，在0到 $\Delta t$ 时，可以认为输入量为 $r(0)$ ；在 $\Delta t$ 到 $2\Delta t$ 时，输入量为 $r(\Delta t)$ 。

我们刚才说，当开始时间为 $t_{1}$ ，持续时间 $\Delta t$ 很小时，数轴上积分值为1的近似单位冲激函数造成的响应为 $K(s)e^{-st_{1}}$ ，普通形式为 $k(t-t_{1})$ 。

那么，数值上积分为 $m$ 的近似单位冲激函数的响应为 $mk(t-t_{1})$ 。现在，从 $t_{1}$ 到 $t_{1}+\Delta t$ 的积分值为 $\Delta t·r(t_{1})$ 。所以这段时间的响应表示为 $r(t_{1})k(t-t_{1})\Delta t$ 。

这样，对于这一不规则激励，我们把它进行分段，每一段的响应是可以近似求出的。

六、现在可以开始叠加了

对于一个控制系统而言，任何响应都是由激励造成了。如果没有激励，响应应该严格为0。所以，如果我想求 $t=t_{1}$ 时的响应，那么我只需要关注 $[0,t_{1}]$ 范围内的激励即可。将这一段时间平均分为n份（规定n很大），那么 $t=t_{1}$ 时的响应应当是这n段时间激励造成响应的叠加，如下所示：